Примеры решений задач по теории поля

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа по векторному анализу (теории поля):

Примеры: базовые понятия теории поля

Задача 1. Проверить, что поле $f=(3x+y^2)i+2xy j$ потенциально и восстановить потенциал.

Задача 2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля $\overline{a}=(3x-y) \overline{i}+(6z+5x) \overline{k}$

Задача 3. Дано скалярное поле $u(x,y,z)$ и векторное поле $\overline{a}(x,y,z)$. Найти $grad u$, $div \overline{a}$, $rot \overline{a}$ в точке $M(1;5;-2)$.

$$u=\frac{\sqrt{x}}{y}-\frac{yz}{x+\sqrt{y}}, \quad \overline{a}=yz\overline{i} +xz\overline{j} +xy\overline{k}$$

Задача 4. Вычислить потенциальную функцию векторного поля

$$\overline{a}=\left( \frac{x}{y}+y\cos x \right)\overline{i} +\left(-\frac{x^2}{2y^2}+\sin x\right)\overline{j}.$$

Поток поля через поверхность

Задача 5. Найти поток векторного поля $\overline{a}=2x \overline{i}+y \overline{j}-2z \overline{k}$ через часть плоскости $P: 2x+y/2+z=1$, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью $Oz$).

Задача 6. Найти поток векторного поля $\overline{a}$ через часть поверхности $S$, вырезаемую плоскостями $P_1, P_2$ (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

$$\overline{a}=(x^3+xy^2)\overline{i}+(y^3+x^2y)\overline{j}+z^2\overline{k},\\ S: x^2+y^2=1, P_1^ z=0; P_2: z=3$$

Задача 7. Найти поток векторного поля $\overline{a}$ через замкнутую поверхность $S$ (нормаль внешняя).

$$\overline{a}=x\overline{i}+z\overline{j}-y\overline{k},\\ S: z=4-2(x^2+y^2), z=2(x^2+y^2).$$

Задача 8. Найти поток векторного поля $\overline{a}=x^3\overline{i}+y^3\overline{j}+z^3\overline{k}$ через замкнутую поверхность $S: x^2+y^2+z^2=1$ (нормаль внешняя).

Задача 9. Найти поток векторного поля $\overline{a}$ через часть плоскости $S$, вырезанную плоскостью $P: z=1$ непосредственно и с помощью формулы Гаусса-Остроградского (нормаль внешняя к замкнутой поверхности).

$$\overline{a}=(x+xy^2) \overline{i} + (y-yx^2)\overline{j}+(z-3)\overline{k}, \quad S: x^2+y^2=z^2 (z \geq 0).$$

Циркуляция векторного поля

Задача 10. Найти модуль циркуляции векторного поля $\overline{a}=xy\overline{i}+yz\overline{j}+zx\overline{k}$ вдоль контура

$$x^2+y^2=9, x+y+z=1.$$

Задача 11. Найдите циркуляцию вектора $\overline{a}=(x^2-y) \overline{i}+ x\overline{j}+ \overline{k}$ по контуру

$$x^2+y^2=1;\\ z=1$$

с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).

Задача 12. Найти циркуляцию вектора $F$ вдоль ориентированного контура $L$. $$\overline{F} = (3x-1) \overline{i}+ (y-x+z)\overline{j}+4z \overline{k},$$ $L$ - контур треугольника $ABCA$, где $A,B,C$ точки пересечения плоскости $2x-y-2z+2=0$ соответственно с осями координат $Ox, Oy, Oz$.

Работа векторного поля

Задача 13. Найдите работу векторного поля $A=(2xy-y; x^2+x)$ по перемещению материальной точки вдоль окружности $x^2+y^2=4$ из $M (2; 0)$ в $К(-2; 0)$.

Задача 14. Вычислить работу векторного поля силы $\overline{F} = xz \overline{i} -\overline{j}+y \overline{k}$ при движении материальной точки по пути $L: x^2+y^2+z^2=4$, $z=1 (y \ge 0)$ от точки $M(\sqrt(3);0;1)$ до точки $N(-\sqrt(3);0;1)$.

Типовой расчет по теории поля

Задание 15.
А) Найти поток векторного поля $F$ через внешнюю поверхность пирамиды, отсекаемой плоскостью $(p)$ двумя способами: непосредственно и по формуле Гаусса-Остроградского.
Б) Найти циркуляцию вектора $F$ по контуру треугольника двумя способами: по определению и по формуле Стокса.

$$\overline{F} = z \overline{i}+ (x+y)\overline{j}+y \overline{k}, \quad (p): 2x+y+2z=2.$$

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 150 рублей, оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Полезные ссылки

• Учебник с примерами онлайн по теории поля
• Функции нескольких переменных - задачи с решениями