Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности
На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач на довольно узкую тему, где требуется найти вероятность отклонения частоты $m/n$ появления события в $n$ независимых испытаниях от постоянной вероятности $p$ с помощью следствия из интегральной теоремы Лапласа.
Искомая формула имеет вид:
$$ P\left( \left|\frac{m}{n}-p \right| \le \varepsilon \right) \approx 2\Phi \left( \varepsilon \sqrt{\frac{n}{pq}} \right) $$Здесь $\varepsilon$ — отклонение, $\Phi$ — функция Лапласа (ее значения берутся из таблиц):
$$\Phi (x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^x e^{-z^2/2}dz$$Разберем основые примеры решений задач с этой формулой (не всегда требуется найти вероятность, есть задачи, где нужно определить число испытаний, или отклонение, или сам интервал, куда попадает относительная частота). Изучайте!
Примеры решенных задач
Задача 1. Производится 500 подбрасываний симметричной монеты. В каких пределах будет находиться отклонение частоты выпадения герба от 1/2 с вероятностью 0,95?
Задача 2. Вероятность того, что телевизор выдержит гарантийный срок работы, равна 0,8. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9955 заключено число телевизоров, выдержавших гарантийный срок службы из 1000 выпущенных.
Задача 3. В каждом испытании некоторое событие $A$ происходит с вероятностью $p=0,5$. Произведено 1600 независимых испытаний.
Найти границы для частости, симметричные относительно $p$, которые можно гарантировать с вероятностью 0,95.
Задача 4. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна 0,6. Сколько испытаний необходимо произвести, чтобы вероятность отклонения частоты от 0,6 в ту и другую сторону менее чем на 0,01 была равна 0,995?
Задача 5. Из группы 200 человек, сдававших экзамен на получение водительских прав в ГАИ 45 человек экзамен не сдало. Оценить вероятности провала и успеха на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа построить приближенные доверительные границы для вероятности успешной сдачи экзамена при 0.8.
Задача 6. Шестигранную кость подбрасывают 10000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты появления шести очков от вероятности появления того же числа очков меньше чем на 0,01.
Задача 7. Найти число бросаний монеты, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления орла отклонится от вероятности его появления по абсолютной величине не более чем на 0,02.
Задача 8. Из 215 подростков, состоящих на учете в детской комнате милиции одного из районов города, 120 человек из неблагополучных семей. Оценить вероятность того, что каждый ребенок из такой семьи состоит на учете в милиции. Построить приближенные доверительные границы для этой вероятности с уровнем доверия 0.999, используя интегральную теорему Лапласа.
Как изменится доверительный интервал, если при тех же значениях частости число наблюдений возрастет в 20 раз?
Решебник по терверу
Если решения нужны срочно и почти даром? Ищите в решебнике по теории вероятностей:
