МатБюро Примеры решений Математика Теория вероятностей Геометрическое распределение

Геометрический закон распределения

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач по теории вероятностей, в которых встречается геометрическое распределение дискретной случайной величины.

Краткая теория

Пусть происходит серия независимых испытаний, в каждом из которых событие может появится с одной и той же вероятностью $p$. Тогда случайная величина $X$ - количество испытаний до первого появления события, имеет геометрическое распределение вероятностей.

Она может принимать всевозможные целые значения от 0 (событие произошло в первом испытании) и больше (счетное число значений). Формула для вычисления соответствующих вероятностей легко выводится:

$$ P(X=k) = q^k \cdot p, k=0,1,2,...,n,... $$

Для геометрического распределения известны готовые формулы для математического ожидания и дисперсии:

$$M(X)=\frac{q}{p}, \quad D(X)=\frac{q}{p^2}.$$

Ниже мы разберем несколько задач с решением, где встречается именно геометрическое распределение. Надо заметить, что гораздо чаще встречаются внешне похожие задачи (где важно число испытаний до первого успеха), но общее число испытаний ограничено (количество выниманий шаров, число патронов или выстрелов и т.п.), и формулы там будут несколько иные. Такие примеры вы найдете на странице Дискретные случайные величины.

Понравилось? Добавьте в закладки

Примеры решенных задач

Задача 1. Два орудия залпом, но при независимой наводке, стреляют в цель до первого попадания хотя бы одним орудием. Вероятность попадания в цель первым орудием при одном выстреле равна 0,2, вторым – 0,3. Найти:
5.1. Закон распределения числа $X$ сделанных залпов.
5.2. $P(X \gt 2)$.
5.3. $m_X$.

Решение задачи о числе залпов

Задача 2. Случайная величина $X$ имеет геометрическое распределение с параметром $p=0,2$. Построить ряд распределения случайной величины $X$. Построить многоугольник распределения. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение величины $X$.

Решение типовой задачи на геометрическое распределение

Задача 3. Для поиска корабля, терпящего бедствие, совершает полеты самолет. Вероятность обнаружения корабля в одном полете равна 0,4. Определить закон распределения случайной величины $Y$ - число поисковых полетов. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение величины $Y$. Определить вероятность того, что корабль будет обнаружен в третьем полете.

Решение задачи о поиске корабля

Задача 4. Производятся многократные испытания некоторого элемента на надежность до тех пор, пока элемент не откажет. Найти:
А) математическое ожидание дискретной случайной величины $X$ – числа опытов, которые надо произвести;
Б) дисперсию $X$.
Вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,1.

Решение задачи об испытаниях на надежность

Задача 5. Вероятность выигрыша в лотерее равна $p$. Некто решил покупать по одному билету из каждого тиража, пока не выиграет.
А) найти вероятность того, что он будет участвовать в $n$-м тираже.
Б) вычислить среднее число приобретенных билетов.
В) предполагая, что выигрыш составляет $a$ рублей, а цена одного билета - $b$ рублей, вычислить средний выигрыш.

Решение задачи о лотерейных билетах и среднем выигрыше

Мы отлично умеем решать задачи по теории вероятностей

Присылайте — оценим!